MÉTODO DEL TRÁNSITO

Qué hay tras el método del tránsito.

kepler frase

Un poco de matemáticas. Ahora vamos a explicar la magia de este método. No son muchos ingredientes, tan sólo un poco de trigonometría e imaginación.

Comprobaremos cómo se deducen las fórmulas que nos permiten a partir de una curva de luz (variación durante un tránsito del brillo de una estrella) averiguar el tamaño del planeta, la distancia con la que orbita a su estrella y la inclinación con que lo hace respecto a nuestra posición de observador.

La definición de la técnica del tránsito y su desarrollo histórico, ya la hemos avanzado en el capítulo de Historia de la Exoplanetología ahora nos detenemos en su formulación básica.

Tránsito de Venus frente al Sol observado desde la Tierra.

Tránsito de Venus frente al Sol observado desde la Tierra.

Esta técnica se basa en el sencillo principio de que si un planeta pasa frente al disco de una estrella bloquea parte de la luz que el observador normalmente recibiría. Si de forma periódica se percibe esta disminución, se puede inferir que un objeto opaco está orbitando la estrella.

Un tránsito planetario, medido en una curva de luz de una estrella, queda mayoritariamente descrito por tres parámetros: su profundidad, duración y forma.

 

 

 

1. Profundidad del tránsito

La intensidad de la disminución de luminosidad esperada durante el tránsito puede inferirse simplemente por la fracción del disco estelar cubierto por el planeta:
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.00.24

Donde F es el flujo medido de la estrella y ?F es el cambio en flujo observado durante el tránsito. La parte derecha es simplemente la relación de áreas de los discos de planeta y estrella.

Esta sencilla ecuación nos ofrece un potente resultado: si un planeta transita a su estrella, automáticamente disponemos de una estimación del tamaño del planeta, en términos relativos al tamaño de su estrella anfitriona, de la cual, previamente conoceremos su radio a partir de su análisis espectral.

Un ejemplo, si sustituimos en la fórmula los valores de los radios de Júpiter y la Tierra,
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.00.52

hallamos pues que un transito de un planeta gigante como Júpiter causaría una disminución de la curva de luz de su estrella en torno al 1% , lo que es factible detectar desde los observatorios terrestres con cierta facilidad.

Sin embargo un planeta terrestre produciría una disminución de 10-2 % aproximadamente, unas 100 veces menor, lo que requeriría una precisión fotométrica de 10-4. Esto es imposible de lograr desde observatorios en tierra y es una misión para observatorios situados en órbita terrestre.

Pero una vez detectada una disminución de luminosidad periódica en una estrella, ¿es suficiente para afirmar que hemos detectado el tránsito de un planeta gigante? No lo es, sólo podríamos concluir que se trata de un objeto opaco del tamaño de Júpiter (por ejemplo) transitando frente a su estrella (pudiendo haber detectado a una enana marrón, por ejemplo). Para determinar si se trata de un planeta es necesario conocer su masa, parámetro que se halla mediante la técnica de la velocidad radial (RV). La combinación de ambas técnicas es muy potente: las medidas de velocidad radial nos informan de la masa del planeta mientras que el método del tránsito acota la inclinación orbital, i, que es la mayor incertidumbre de las medidas de RV. Sabiendo masa y radio, deducimos la densidad y podemos comenzar a inferir el estado de la materia que lo compone, es decir, si nos encontramos ante un planeta en estado sólido, líquido o gaseoso.

2. Duración del tránsito, inclinación orbital y parámetro de impacto.

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.01.09Vamos a calcular una expresión a partir del periodo orbital P y de la fracción de la órbita del planeta durante la cual el planeta atraviesa el disco estelar. Para ello nos apoyamos en la Fig. 4.2. Las líneas paralelas desde los bordes de la estrella que viajan hacia el observador, intersectan la órbita del planeta en los puntos V y W. Asumiendo que el radio de la órbita, a, es mucho mayor que el radio de la estrella, R* , el arco entre V y W tiene casi la misma longitud que la cuerda V-W, es decir 2R*. Para una órbita circular, la duración del tránsito se expresa:

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.01.25

luego
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.01.34Dado que la longitud del arco es 2a?, donde ? es el ángulo indicado en la figura anterior, tenemos que Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.01.42por lo tanto
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.01.47por lo tanto sustituyendo en la ecuación 4.4, tenemos que

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.03.30

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.03.49

Esta ecuación es válida cuando el observador está situado exactamente en el plano de la órbita, en caso contrario (estadísticamente lo más frecuente) existe un ángulo entre dicho plano y el observador que denominamos i (Fig. 4.3) se hace necesario definir el parámetro de impacto, b.

 

 

Pero antes conviene precisar las fases de un tránsito:

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.04.10

Un tránsito tiene cuatro contactos como vemos en la Fig. 4.4. El primero se da cuando el limbo del planeta coincide con el limbo de la estrella. El segundo ocurre cuando justo todo el disco del planeta ha entrado en el disco de la estrella. El tercero corresponde al último instante cuando todo el disco del planeta está dentro del disco estelar. El cuarto contacto es el momento en el que todo el disco del planeta ha salido completamente del disco de la estrella.

El parámetro de impacto es la distancia vertical a medio tránsito del centro del planeta desde el centro de la estrella vista por el observador (Fig 4.3). Esta distancia viene dada por

b = a cos i

Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.04.24

La duración del tránsito depende en buena medida del parámetro de impacto. La Fig. 4.5 revela la geometría implicada, durante el momento del 4º contacto. Observamos el disco de la estrella y el del planeta. De ello y aplicando teorema de Pitágoras, tenemos que
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.04.37Sustituyendo esta expresión en la ecuación 4.7 (cuando eran b=0, i=90º) obtenemos la expresión general de la duración de un tránsito para un exoplaneta en órbita circular
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.04.43y si asumimos que  la ecuación se simplifica
Captura de pantalla 2013-08-26 a la(s) 23.05.02Armados con esta formulación, si conocemos el tipo espectral de la estrella, podemos inferir el valor de su masa M* y su radio R*. Entonces, obteniendo experimentalmente el valor de la duración del tránsito Tdur y el periodo, es posible calcular la inclinación orbital i.

 3. Periodo de rotación

El periodo orbital del exoplaneta se determina observando el tránsito durante varios ciclos, se precisan un mínimo de tres, dos para establecer el parámetro y uno más para confirmarlo, si bien para establecerlo con precisión se emplea la expresión:

Captura de pantalla 2013-08-27 a la(s) 18.52.38

siendo  T elapsed el tiempo transcurrido entre dos observaciones de un hito del tránsito (normalmente el tiempo central) ampliamente separadas y  el N cycles número de tránsitos observados.

Conocido el periodo de rotación del planeta, la tercera ley de Kepler nos da el semieje mayor en función de las masas y el periodo orbital:
Captura de pantalla 2013-08-27 a la(s) 18.52.55

Dado que Mp << M*, tan sólo con disponiendo del periodo orbital P y M* , el semieje mayor de la órbita del planeta puede ser deducido:
Captura de pantalla 2013-08-27 a la(s) 18.53.05

4. Forma del tránsito

La forma del tránsito, o lo que es lo mismo, la forma de la curva de luz, viene determinada por los siguientes factores (Fig. 4.6):

  1. La profundidad del tránsito ?F, medida desde el nivel fuera de tránsito al nivel a mitad de tránsito.
  2. La duración del tránsito Tdur, medida entre el primer y cuarto contacto. A su vez depende de Rp, R* e i .
  3. La duración del ingreso t1-t2,  (o el equivalente egreso t3-t4). Este tiempo depende del radio del planeta Rp principalmente pero también de la inclinación orbital i . En función de ésta, tendremos tránsitos centrales en los que el planeta se mueve a través del limbo ecuatorial de la estrella y entonces la distancia entre primer y segundo (y segundo y tercero) contacto es mínima (produce ingresos y egresos cortos). En cambio para valores de i mayores, el movimiento del planeta a través del limbo es un ángulo del normal y entonces la distancia y el tiempo transcurrido son mayores (ingresos y egresos largos). (Fig. 4.7)
  4. Oscurecimiento hacia el limbo. Las estrellas no tienen un brillo uniforme en toda su superficie sino que éste decrece desde el centro hacia el limbo. Dicho efecto es el responsable de la curvatura de la parte del fondo de la curva de luz (Fig. 4.7). Esta curvatura no es igual de marcada para todas las longitudes de onda, siendo las ondas más largas menos sensibles a ello.

Captura de pantalla 2013-08-27 a la(s) 19.25.31